Question

已知点P是边长为4的正方形ABCD的AD边上一点，AP=1，BE⊥PC于E，则BE=___

Answer 1

延长BA和CP，相交于点F。
则有：FA∶FB = AP∶BC = 1∶4 ，
可得：FA∶AB = FA∶(FB-FA) = 1∶(4-1) = 1∶3 ，
所以，FA = (1/3)AB = 4/3 ，FB = FA+AB = 16/3 。

在Rt△BCF中，已知，FB = 16/3 ，BC = 4 ，
由勾股定理可得：CF = 20/3 ；
所以，BE = BC·sin∠BCE = BC·FB/CF = 16/5 。

Answer 2

解：建立坐标系 设A（3，0）B（0，4）C（0，0）P（x，y）内切圆半径为r
三角形ABC面积 S=1/2AB*AC=1/2(AB+AC+BC)r=12 解得 r=1
即内切圆圆心坐标 （1，1）
P在内切圆上 则有 （x-1）^2+(y-1)^2=1
P点到A,B,C距离的平方和为 d=x^2+y^2+(x-3)^2+y^2+x^2+(y-4)^2
=3(x-1)^2+3(y-1)^2-2y+19=22-2y
显然 0≤y≤2 即 18≤d≤22 9π/2≤πd/4≤11π/2
即以PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和最大值为11π/2 最小值
为 9π/2