Question

复变函数中运用柯西积分公式的条件

Answer 1

柯西积分定理
复变函数论的核心定理 . 它讨论一个区域D上的复函数在什么条件下在D上积分与路径无关 , 最简单的柯西积分定理的形式为：当D是单连通区域 ,而f（z）是D上的解析函数时,以下3个互相等价的结论成立 ： ① f（z） 在D内沿任意可求长曲线积分与路径无关.②f（ z ）在 D内沿任意可求长闭曲线积分为零.③f（z ）在D上有原函数 . 如果在连续函数类中讨论,则以上定理还是可逆的.柯西定理有以下常用的变化的形式 ：①D 是由几条简单光滑闭曲线围成的有界区域,记L＝D,f（z）在D上解析,在Image:柯西积分定理1.在DUL上连续,则必有
②在上述条件下 ,若 L＝L0＋…＋L即D由L0,…,L所围成,
作为柯西积分定理的应用,有同样可作为解析函数充要条件的柯西积分公式：f（z）在上连续 ,在D内解析的充要条件是.
.柯西积分公式是证明一系列解析函数重要性质的工具,首先是证明了圆盘上的解析函数一定可展为幂级数 ,从而证明了 A.-L.柯西与K.魏尔斯特拉斯关于解析函数两个定义的等价性 ,其次证明了解析函数是无限次可微的,从而其实部与虚部也是无限次可微的调和函数.柯西积 分定理 已推广到沿同 伦曲线或沿同调链 积分的形式.柯西积分公式在多复变函数中也有许多不同形式.