向量的数量积是什么?

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谷子
2022-12-22 · 知道合伙人互联网行家
谷子
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已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ(θ是a与b的夹角)叫做a与b的数量积或内积。记作a·b。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1·x2+y1·y2

向量的数量积公式:a*b=|a||b|cosθ,a,b表示向量,θ表示向量a,b共起点时的夹角,很明显向量的数量积表示数,不是向量。

一个向量和另个向量在这个向量上的投影的乘积,前提始位置要相同。

[扩展资料]

数量积的性质 

设a、b为非零向量,则

①设e是单位向量,且e与a的夹角为θ,则e·a=a·e=|a|cosθ

②a⊥b=a·b=0

③当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·a=|a|2=a2或|a|=√a·a

④|a·b|≤|a|·|b|,当且仅当a与b共线时,即a∥b时等号成立

⑤cosθ=a·b╱|a||b|(θ为向量a.b的夹角)

⑥零向量与任意向量的数量积为0。

向量数量积的运算律 

⑴交换律:a·b=b·a

⑵数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)

⑶分配律:(a+b)·c=a·c+b·c

平面向量数量积的几何意义 

①一个向量在另一个向量方向上的投影

设θ是a、b的夹角,则|b|cosθ叫做向量b在向量a的方向上的投影,|a|cosθ叫做向量a在向量b方向上的投 影。

②a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积

★注意:投影和两向量的数量积都是数量,不是向量。

③数量积a·b的几何意义是:a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

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