Question

已知以F为焦点的抛物线y^2=4x上的两个点A,B满足向量AF=3倍向量FB，则弦AB的中点到准线的距离为？

求过程啊 谢谢了

Answer 1

设抛物线的准线为l:x=-1. 设|FB|=m,则|FA|=3m.
过A、B两点向准线l作垂线AC、BD,,
由抛物线定义知：|AC|=|FA|=3m, |BD|=|FB|=m,
过B作BE⊥AC,E为垂足。
|AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=3m-m=2m.
|AB|=|FA|+|FB|=4m.
在直角三角形AEB中，|BE|=√(|AB|²-|AE|²)=2√3m,
tan∠BAE=|BE|/|AE|=√3,
直线的斜率k= tan∠AFx= tan∠BAE=√3.

焦点F坐标为(1,0),
直线方程为y=√3(x-1).与抛物线方程y²=4x联立并消去y得：
3x²-10x+3=0,x=3或1/3.
所以弦AB的中点的横坐标为（3+1/3）/2=5/3.
准线为l:x=-1.
所以弦AB的中点到准线的距离为5/3+1=8/3.

Answer 2

y²=4x得F(1，0)
|PF|+|PA|≥2√(|PF|•|PA|)，当且仅当|PF|=|PA|时取等号，即当|PF|=|PA|时，|PF|+|PA|有最小值
|PF|=|PA|，则P在|AF|的垂直平分线上
F(1，0)，A(3，-2)可得|AF|的方程y=-x+1，x∈[1，3]
|AF|的斜率为-1则垂直于|AF|的直线的斜率为1
F(1，0)，A(3，-2)可得|AF|的中点(2，-1)
斜率为1，且过点(2,-1)的直线的方程为y=x-3
当|PF|=|PA|取最小值时，P即y²=4x与y=x-3点交点
(x-3)²=4x
x²-10x+9=0
(x-1)(x-9)=0
x=1
y=-2
P(1，-2)，<P(9，6)时的|PF|+|PA|显然大于P(9，6)时的|PF|+|PA|，因此舍去>

|PF|=|PA|=√[(1-1)²+(-2-0)²]=2
|PF|+|PA|的最小值为4