Question

设函数f(x)=丨x+√a丨-丨x-√1-a丨 当a=1时，求不等式f(x)≥2分之1的解集

Answer 1

这是第一问吧，第一问很简单，第二问复杂些。我刚回答过此题。
解答过程写出如下：

解：
(1)
a=1时，f(x)=|x+1|-|x|
x≥0时，f(x)=x+1-x=1
-1≤x<0时，f(x)=x+1-(-x)=2x+1
-1≤x<0，-1≤2x+1<1，-1≤f(x)<1
x<-1时，f(x)=-(x+1)-(-x)=-1
|x+1|-|x|≥0.5
x≥0时，f(x)=1>0.5，满足题意。
-1≤x<0时，2x+1≥0.5，x≥-¼，又-1≤x<0，因此-¼≤x<0
x<-1时，f(x)=-1<0.5，不等式无解
综上，得：x≥-¼，不等式的解集为[-¼，+∞)
(2)
令a=sin²t，t∈[0，π/2]
f(x)=|x+√sin²t|-|x-√(1-sin²t)|=|x+sint|-|x-cost|
x≥cost时，f(x)=x+sint-x+cost=sint+cost=√2sin(t+π/4)
t∈[0，π/2]，1≤√2sin(t+π/4)≤√2
-sint≤x<cost时，f(x)=x+sint-cost+x=2x+√2sin(t-π/4)
t∈[0，π/2]，-1≤√2sin(t-π/4)<1
x<-sint时，f(x)=-(x+sint)-[-(x-cost)]=-sint-cost=-√2sin(t+π/4)
t∈[0，π/2]，-√2≤√2sin(t-π/4)<-1
综上，得：f(x)的最大值为√2
要不等式f(x)≥b的解集为空，b>√2
b的取值范围为(√2，+∞)