Question

函数在某区间有定义一定连续吗？

Answer 1

函数在某区间有定义，是指自变量在某区间内变化时，都有非无穷大的因变量值与之相对应。

如 y = 1/x 在（1，+∞）有定义，

但 y = sinx / x 在（-1，1）上的 x = 0 处就无定义（虽然在区间的其它处也都有值）。

“初等函数在其定义区间内可导”这句话是错的。y=|x|=√(x^2),这是一个初等函数，定义区间为（-∞，+∞），但在x=0处是不可导的。

扩展资料：

高等数学中提到初等函数在定义区间（不是定义域）一定连续，函数如果在某些孤立的点有定义，那么这些点是在其定义域内的，但是这些孤立的点是不在其定义区间内的。总结就是：基本初等函数在其定义域内连续；初等函数在其定义区间内连续。

定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）；

注意：

① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

② 函数单调性定义中的x1，x2 ，有三个特征：

一是任意性，尤其是在证明单调性时，不能以特殊值替换；

二是有大小，x1 ≠x2；

三是同属于一个单调区间。三者缺一不可。