Question

如图在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AF平分∠BAC

Answer 1

证明：
过F做FP垂直AC于P,连接EP.
三角形ABF和三角形AFP中,AF是公共边,角BAF=角PAF,
角APF=ABF=90度,所以两个三角形全等.所以AP=AB.---(1)
三角形ABE和三角形AEP中,AE是公共边,角BAE=角PAE,AP=AB,两个三角形也是全等.
所以角APE=角ABE=45度
三角形OEP中,角EOP=90度,角OPE=45度,所以这是等腰直角三角形,OP=OE
所以AO+OE=AO+OP=AP=AB.这里应用到了刚才(1)得到的结论.
因为在三角形FPC中,角FPC=90度,角FCP=45度,所以FP=PC.
在三角形EFP中,角EFP=90-(45/2)=67.5度,角FEP=角FAP+角APE=45/2 + 45 = 67.5度,
所以PE=PF.
所以FC = 根号2 * PF = 根号2 * PE = 根号2 * (根号2 *OE) = 2 * OE