Question

当x→0时,无穷小x和(1)tan3x;(2)x+x^2sin(1/x)+是否同阶?是否等价?

Answer 1

😳 : 当x->0时, 无穷小x 和(1)tan3x;(2)x+x^2sin(1/x),是否同阶?是否等价?

👉 等价无穷小

• 等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的
  

👉等价无穷小的例子

1. 『例子一』 sinx ~x
   

2. 『例子二』 e^x -1 ~ x
   

3. 『例子三』 cosx ~ 1-(1/2)x^2
   

👉回答

• 根据泰勒公式
  

x->0

tan3x ~ 3x +o(x)

x , tan3x : 是同价无穷小

x + x^2.sin(1/x) ~ x

x , x + x^2.sin(1/x) : 是等价无穷小

• 得出结果
  

x , tan3x : 是同价无穷小 ,  x , x + x^2.sin(1/x) : 是等价无穷小

😄: x , tan3x : 是同价无穷小 ,  x , x + x^2.sin(1/x) : 是等价无穷小

Answer 2

（1） lim<x→0>tan3x/x = 3, 无穷小 x 与 tan3x 是同阶无穷小。
（2） lim<x→0>[x+x^2sin(1/x)]/x = lim<x→0>[1+xsin(1/x)] = 1,
无穷小 x 与 x+x^2sin(1/x) 是等价无穷小。