设f(x)有一阶导数且满足∫0到1f(tx)dt=f(x)+xsinx,则f(x)=

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茹翊神谕者

2023-08-09 · 奇文共欣赏,疑义相与析。
茹翊神谕者
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简单分析一下,答案如图所示

sjh5551
高粉答主

2022-11-09 · 醉心答题,欢迎关注
知道大有可为答主
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令 tx = u, 则 t = u/x, t = 0 时, u = 0; t = 1 时,u = 下。 dt = du/x
∫<0,1> f(tx)dt = f(x)+xsinx 化为
(1/x)∫<0,x> f(u)du = f(x) + xsinx,
∫<0,x> f(u)du = xf(x) + x^2 sinx
两边对 x 求导,得
f(z) = f(x) + xf'(x) + 2xsinx - x^2cosx
x ≠ 0, 得 f'(x) = xcosx - 2sinx
f(x) = ∫xcosxdx - 2∫sinxdx = ∫xdsinx + 2cosx
= xsinx - ∫sinxdx + 2cosx = xsinx + 3cosx + C
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