Question

已知函数f(x)满足,对任意实数m,n都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且当x>0时f(x)>1,若f(3)=

Answer 1

(1)证明:
f(3)
=f(2+1)
=f(2)+f(1)-1
=f(1+1)+f(1)-1
=[f(1)+f(1)-1]+f(1)-1
=3f(1)-2=4
∴f(1)=2
(2)证明:
∵f(0+0)=f(0)+f(0)-1,∴f(0)=1
∵f(-x+x)=f(-x)+f(x)-1,∴f(0)=f(-x)+f(x)-1
∴f(-x)=1+f(0)-f(x)=2-f(x),即f(-x)=2-f(x)
设X1>X2
则f(X1-X2)=f(X1)+f(-X2)-1=f(X1)+[2-f(X2)]-1=f(X1)-f(X2)+1
即f(X1)-f(X2)=f(X1-X2)-1
∵当x>0时,f(x)>1
又∵X1-X2>0
∴f(X1-X2)>1,即f(X1-X2)-1>0,即f(X1)-f(X2)>0
∴f(X1)>f(X2)
综上:当X1>X2时,f(X1)>f(X2)
∴f(x)为增函数
f(a²+a-5)-2