Question

AB为圆O的直径，BE切圆O于点B，连接AE交圆O于点C，D是BE的中点。求证CD是圆O的切线

Answer 1

连接CO，CB
∵AB为直径
∴△ACB为直角△
∵BE切圆O于点B
∴∠ACB=∠ABE=90°
∴∠CAB+∠CBA=∠CBA+∠CBE=90°
∴∠CAB=∠CBE
∵∠BCE=90°，D是BE的中点
∴DC=DB
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA=∠DBC=∠BCD
∴∠ACO+∠OCB=∠OCB+∠BCD=90°
∴OC⊥CD
∵OC为半径
∴CD是圆O的切线

Answer 2

韦达定理：关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两根x1，x2满足
x1+x2=-b/a，x1•x2=c/a

设x²-2（m+2）x+2m²-m+3=0的2个根x1，x2（x1＜x2）DE=x1，BE=x2
所以x1+x2=-b/a=2m+4
x1•x2=c/a=2m²-m+3

x1²+x2²
=(x1+2x1•x2+x2²)-2x1•x2
=(x1+x2)²- 2x1•x2
=(2m+4)²-2•(2m²-m+3)
=4m²+16m+16-4m²+2m-6
=18m+10

∵Rt△BDE中，BD=10
∴BD²=DE²+BE²=x1²+x2²
∴18m+10=100
m=5
再代入原方程得x²-14x+48=0
(x-6)(x-8)=0
x1=6，x2=8
即DE=6，BE=8

连接AD，设圆心为O
∴∠DAB=∠EAD（弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）
∴∠ADB=½∠AOB=90°（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半）
∴∠ADB=∠DEB=90°

在△ADB与△DEB中
∠ADB=∠DEB
∠DAB=∠EDB
∴△ADB∽△DEB（有两个角对应相等的三角形是相似三角形）
∴∠ABD=∠EBD
∴DB：AB=EB：DB
∴10：AB=6：10
∴AB=50/3

在△ABC与△EBD中
∠ABC=∠EBD
∠BAC=∠BED=90°
∴△ABC∽△EBD（有两个角对应相等的三角形是相似三角形）
∴AB：AC=EB：ED

∴50/3：AC=8：6
∴AC=25/4