Question

高中数学！！！

已知A、B、P是双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上不同三点，且A,B连线经过坐标原点，若直线PA,PB的斜率乘积为2/3，则双曲线离心率为多少？

Answer 1

A,B连线经过坐标原点可设A（X0,Y0),B(-X0,-Y0),设P(X1,Y1),由三点在双曲线上有X1^2/a^2-Y1^2/b^2=1......①,X0^2/a^2-Y0^2/b^2=1.....②，由PA，PB斜率乘积为2/3,得(Y1^2-Y0^2)/(X1^2-X0^2)=2/3......③，由①②得到(X1^2-X0^2)/a^2-(Y1^2-Y0^2)/b^2=0......④，将③代入④，得到1/a^2-2/3b^2=0......⑤，将b^2=c^2-a^2代入⑤，整理得到e^2=c^2/a^2=5/3,后面你会啦

Answer 2

由题意可设A（x1,y1）,P(x,y）,则B （-x1,-y1）
设直线AP的方程为：y- y1=k(x- x1）,则BP的方程为：y+ y1=2/(3k)(x+x1）
x 1^2/a^2-y1^2/b^2=1
x ^2/a^2-y^2/b^2=1
由以上两式相减得
(x-x 1) (x+x 1)/a^2-(y-y 1) (y+y 1)/b^2=0再把两直线方程代入化简可得：b 2/ a 2=2/3
所以e2= c 2/ a 2=1+ b 2/ a 2=5/3
从而可以求出e的值。