Question

定义在R上的奇函数f（x）满足f（3+x）=f（3-x），若x∈(0,3)时，f（x）=2^x,则当x∈（-6，-3）时，f（x）=

Answer 1

f(x)=-2^(6+x)

首先，当x∈(0,3)时候，有3-x∈(0,3)
所以f（3-x）=2^(3-x)
同时又因为f（3+x）=f（3-x），所以f（3+x）=f（3-x）=2^(3-x) ①
此时x∈(0,3)，得到3+x∈(3,6)，令3+X=t ② .即t∈(3,6)
将②带入①中,得到f(t)=2^(6-t) t∈(3,6)，
根据奇函数性质，有f(-t)=-2^(6-t) t∈(3,6)，
令-t=x 因为 t∈(3,6)，所以x∈(-6,-3)
所以f(x)=-2^(6+x) x∈(-6,-3)

写得比较多，你看懂了就不需要写这些，写重要的就可以了

Answer 2

∵f（x）=-(2^x +b)/[2^(x+1）+a]
∴f（-x）=-[2^(-x)+b]/[2^(-x+1)+a]
∵奇函数有f（x）=-f（-x）
∴-(2^x +b)/[2^(x+1）+a]=[2^(-x)+b]/[2^(-x+1)+a]
∴-(2^x +b)*[2^(-x+1)+a]=[2^(-x)+b]*[2^(x+1）+a]
展开有：-[2+a2^x+b2^(-x+1)+ab]=2+a2^（-x）+b2^(x+1)+ab
即：-2-a*2^x-(2b/2^x)-ab=2+(a/2^x)+2b*2^x +ab
∴2+ab=0；a=-2b；
解：a=-2，b=1或a=2，b=-1；
如：a=-2，那么分母2^(x+1)+a=2^(x+1)-2，此时x≠0，这与x∈R相矛盾
∴a=2，b=-1

a=2，b=-1代入有：f（x）=-（2^x-1）/[2^(x+1)+2]=-(2^x-1)/2(2^x+1)
设x1＜x2
f（x1）-f（x2）
=-(2^x1-1)/2(2^x1+1) - [-(2^x2-1)/2(2^x2+1)]
=(2^x2-1)/2(2^x2+1) - (2^x1-1)/2(2^x1+1)（此步可以省略）
=[(2^x2-1)(2^x1+1)-(2^x1-1)(2^x2+1)]/[2(2^x1+1)(2^x2+1)]
（此步可以省略）
=[2^(x1+x2)+2^x2-2^x1-1-2^(x1+x2)-2^x1+2^x2+1]/[2(2^x1+1)(2^x2+1)]
（此步可以省略）
=(2^x2-2^x1)/[(2^x1+1)(2^x2+1)]
∵x1＜x2，∴2^x1＜2^x2，∴2^x2-2^x1＞0
∴f（x1）-f（x1）＞0
∴f（x）在R上是减函数；