Question

非齐次方程与齐次方程相减后能得出通解吗？

Answer 1

相减结果是对应齐次方程的一个解，未必是通解，因为特解的常数常常是具体的数值。

设y1、y2都是下列方程的解：

ay''+by'+cy=d。

相减结果是对应齐次方程的一个解，未必是通解。因为特解的常数常常是具体的数值。

ay1''+by1'+cy1=d。

ay2''+by2'+cy2=d。

相减：

a(y1''-y2'')+b(y1'-y2')+c(y1-y2)=0。

a(y1-y2)''+b(y1-y2)'+c(y1-y2)=0。

可见，y1-y2是下列方程的解：

ay''+by'+cy=0。

这是一个齐次方程。

用矩阵的思想：

我们都知道非齐次的2个不同的特解等于对应的齐次的特解。

这是因为将2个非齐次方程相减，等号右边的系数是相等的，相减了右边就就变成了0，相减而得的方程变成了齐次方程，左边的解也就变成了齐次方程的解。

同样的道理，非齐次方程减齐次方程，右边的系数不变，那么左边的就还是非齐次方程的解。