Question

在rt△ABC中,角ABC=90°,斜边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接BE.若BE是△DEC的外接圆的切线，∠c=

在rt△ABC中,∠ABC=90°,斜边AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,连接BE.
（1）若BE是△DEC的外接圆的切线，∠c=？
（2）当AB=1，BC=2时，求△DEC的外接圆半径。

Answer 1

（1) 设F为DC的中点，连接FE.
∵DE⊥EC,
∴F为△DEC的外接圆的圆心。
∵BE是△DEC的外接圆的切线
∴FE⊥BE
∴∠EFB＋∠EBF＝90°
又∵∠EFB＝2∠C，∠EBF＝∠C
∴∠EFB＋∠EBF＝3∠C＝90°
∴∠C＝30°
(2) ∵AB=1，BC=2
∴AC＝√1¹＋2²＝√5
∴EC＝（√5）／2
又∵△DEC∽△ABC
∴EC∶BC＝DE∶AB
∴DE＝EC×AB÷BC＝（√5）／2×1÷2＝（√5）／4
∴DC＝√DE²＋EC²＝5/4
∴DF＝DC÷2＝5/8,。即△DEC的外接圆半径为5/8。

Answer 2

取AD的中点E，连结AE，AD=2AC，则AC=AE=DE，CE是直角三角形ADC斜边上的中线，故CE=AD/2，CE=AE=AC，三角形ACE是等边三角形，
〈CEA=60度，〈D=30度，〈CAD=60度，AB=BD，三角形ABD是等腰三角形，
〈BAD=〈BDA=30度，
∴〈ABC=2〈D=60度。