Question

已知直线y=根号3/3x+1和x、y轴交于A、B两点,以线段AB为边在第一象限内作一个等边三角形ABC

（1）求点C坐标和直线OC的解析式
（2）若直线OC上有一点P（m，n），且S三角形AOP=S三角形ABC，求P点坐标

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Answer 1

设直线分交x于A（a,0）,y轴B（0，y)令AB=c
则c=√（a^2+b^2）
很明显
1/2*|ab|=1/2*1*c
于是
(ab)^2=a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=3-2ab
(ab)^2+2ab-3=0
ab=1或ab=-3
于是S=|ab|/2=1/2或3/2

当ab=1时，又a+b=√3
则a、b是方程x^2-√3x+1=0的两根
很明显，此方程无实数解，于是舍弃
当ab=-3时，又a+b=√3
则a、b是方程x^2-√3x-3=0的两根
a=√3/2+√15/2，b=√3/2-√15/2
或
a=√3/2-√15/2，b=√3/2+√15/2

或者：

在单位圆x＾2＋y＾2＝1中，连接圆心与截距线L的切点N，则ON=1,ON垂直L。设ON与X轴的夹角&。X轴截距=a,Y轴截距=b
这时a=1/cos&，b=1/sin&
题意知a+b=1/cos&+1/sin&=(sin&+cos&)/(sin&cos&)= 根号3
将方程(sin&+cos&)/(sin&cos&)= 根号3两边平方得
3(sin&cos&)^2-2sin&cos&-1=0
解得sin&cos&=1或sin&cos&=-1/3
sin&cos&=1可整理出sin2&=2,这个关系式不存在，应舍去
故取sin&cos&=-1/3
又L与两坐标所围成的三角形面积=1/2*ab=1/2*1/（sin&cos&）
将sin&cos&=-1/3代入得到三角形面积=3/2 （面积取正值）
你的串号我已经记下，采纳后我会帮你制作