Question

四个线性代数问题，全部填空题

已知a1,a2,a3,a4是三维列向量组，矩阵A=(a1,a2,a3),B=(a1,a2,a4),且[A]=-2,[B]=1，求行列式[A+B]=？
已知A为n阶方程且满足A^2+A-3E=O，则（A-2E)^（-1）=？
设A为3阶方阵且满足A^2=A,则秩r（A-2E)=?
已知A=(a1,a2,a3,a4)，其中a1，a2,a3,a4都是4维列向量。若Ax=sita有非零解(1,-1,2,-1)^T,则a1可以用a2,a3,a4表示为a1=？

Answer 1

1.根据向量的性质（其实是矩阵的性质）进行处理后计算
A+B=(2a1,2a2,a3+a4)=2(a1,2a2,a3+a4)=4(a1,a2,a3+a4)=4[(a1,a2,a3)+(a1,a2,a4)]
=4(-2+1)=-4

2.这个需要一点眼力，根据已知条件和要求的形式去凑一个因式出来
A^2+A-3E=O推出(A-2E)(A+3E)=-6E
可知（A-2E)^（-1）=-(A+3E)/6

3.A(A-2E)=-A推出A-2E=-E
所以r(A-2E)=3
这样做可能不是很严密，也可以这样想
因为A^2=A推出A(A-E)=0，得r(A)+r(A-E)<=3
有两种情况，如A=E，r(A)+r(A-E)=3 或者 A是零矩阵，r(A)+r(A-E)=3
将A=E或A=0代入A-2E后，秩都为3

4.这题要根据解的性质去做，当然直接矩阵乘法也可以，但是理解解的性质可能更好
将已知的非零解代入，得a1-a2+2a3-a4=sita
可知a1=sita+a2-2a3+a4