Question

高二数学问题:过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右焦点F作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线l,垂足为P

过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)的右焦点F作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线l,垂足为P,设l与双曲线的左,右两支相交于点A,B.(1)求证:点P在直线x=a^2/c上;(2)求双曲线的离心率e的变化范围.

Answer 1

1）渐近线y=b/ax,则垂线斜率为-a/b,方程为y=-a/b(x-c)
由两方程解得x=a^2/c，y=ab/c
2)垂线的斜率应该小于另一条渐近线的斜率，
即-a/b<-b/a
2a^2>c^2
e=c/a<根号2
不知道这种解法是否正确，要不就把垂线方程带入到双曲线方程中，得到的一元二次方程判别式大于0，太麻烦了

Answer 2

1.
直线x-2y+3=0斜率为 1/2

所以渐近线斜率 为-2

根据双曲线相关知识（教材上有）
渐近线为 y=a*x或 y=-a*x

所以 a=2 或 a=-2
2.
双曲线x平方/9-y平方/m=1的渐进线l的方程为y=根号m/3或 y=-根号m/3

所以 m=5 或 m=-5

所以 双曲线焦点F （根号14,0）或（-根号14,0）

用点到直线距离公式
答案是
根号5

Answer 3

解：1.渐近线y=b/ax,则垂线斜率为-a/b,方程为y=-a/b(x-c)
由两方程解得P（a^2/c，ab/c），得证。
2.垂线的斜率只有大于另一条渐近线的斜率，才会与左支有交点。
即-a/b>-b/a,
解得：a^2<b^2
∵a^2+b^2=c^2
∴2a^2<c^2
∴√2<c/a
即e>√2

Answer 4

）渐近线y=b/ax,则垂线斜率为-a/b,方程为y=-a/b(x-c)
由两方程解得x=a^2/c，y=ab/c
2)垂线的斜率应该小于另一条渐近线的斜率，
即-a/b<-b/a
2a^2>c^2
e=c/a<根号2
不知道这种解法是否正确，要不就把垂线方程带入到双曲线方程中，得到的一元二次方程判别式大于0，太麻烦了