Question

双曲线问题

F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且∠F1PF2=60°，S△PF1F2=12√3，离心率为2，求此双曲线方程。

Answer 1

设双曲线方程为：x^2/a^2-y^2/b^2=1
S△F1PF2=1/2*PF1*PF2*sin60=12√3 （正弦面积公式）
PF1*PF2*sin60=24√3
PF1*PF2*√3/2=24√3
PF1*PF2=48

∣PF1-PF2∣=2a 两边平方
(PF1)^2+(PF2)^2-2PF1*PF2=4a^2
(PF1)^2+(PF2)^2-2*48=4a^2
(PF1)^2+(PF2)^2=4a^2+96

离心率e=c/a=2 两边平方得
c^2/a^2=4
c^2=4a^2

cos60=[(PF1)^2+(PF2)^2-4*C^2]/2*PF1*PF2 （余弦定理）
1/2=[4a^2+96-4*4a^2]/(2*48)
1/2=[96-12a^2]/(2*48)
96-12a^2=48
12a^2=48
a^2=4
c^2=4a^2=4*4=16
b^2=c^2-a^2=16-4=12

x^2/a^2-y^2/b^2=1
x^2/4-y^2/12=1