Question

判断函数f(x)=2x+2/x，x属于[1/2，3]的单调性，并求出它的单调区间。

要过程，不要在网上找的，因为我看过了，不懂。
详细过程！！！

Answer 1

令x1>x2
f(x1)-f(x2)
=2x1+2/x1-2x2-2/x2
通分
只考虑定义域内则x1>0,x2>0
分母x1x2>0

分子=2(x1²x2-x1x2²+x2-x1)
=2[x1x2(x1-x2)-(x1-x2)
=2(x1-x2)(x1x2-1)
x1>x2
所以x1-x2>0
所以看x1x2-1符号

显然x1>1,x2>1时，x1x2>1,x1x2-1>0
即x1>x2,f(x)>f(x2)，增函数

0<x1<1,0<x2<1,则x1x2<1,x1x2-1<0
即x1>x2,f(x)<f(x2)，减函数

综上
1/2<x<1,是减函数
1<x<3,是增函数
即增区间(1,3),减区间(1/2,1)

Answer 2

f(x1)-f(x2)=2(x1+2/x1)-(2x2+2/x2)=2(x1-x2)(1-1/x1x2)
当1/2<x1<x2<1时，1/4<x1x2<1,所以1-1/x1x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,所以在[1/2,1）上单减，
当1<x1<x2<3时，1<x1x2<9,所以1-1/x1x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,所以在（1，3]上单增

Answer 3

这是一个对勾函数
这里要求的只有正部 就不考虑x<0部分图像了 其实也类似
设t=根号x t大于0（不然就是根号-x）
f(x)=2x+2/x=2(t+1/t)^2-4
显然在t=1/t 即t=1时 取到最小值
所以其实在 [1/2，1]上递减 而在[1，3]上递增
这个还要证，如果没学习导数的话只能用定义证
比如在[1/2，1]上
具体就是任取x1,x2属于[1/2，1] 满足x1<x2
那么可以计算对应y1-y2=2(x1-x2+1/x1-1/x2) 通分再整理一下，你会发现是大于0的 便是递减

Answer 4

解：求导数得f'(x)=2-2/x^2， 令f'(x)=0时，x＝1，
当x属于[1/2，1)即1/2≤x<1时，f'(x)<0,所以函数在[1/2，1)单调递减；
当x属于(1，3]即1<x≤3时，f'(x)>0,所以函数在(1，3]单调递增；