Question

已知sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tanβ=0

Answer 1

解：因为 sin (α+β)=1,
所以 α+β =pi/2 +2k *pi, k属于Z.
所以 2α +β =α +pi/2 +2k *pi,
β = -α +pi/2 +2k *pi
= -α -pi/2 +(2k+1) *pi,
k属于Z.
所以 tan (2α +β) +tan β =tan (α +pi/2 +2k *pi) +tan [ -α -pi/2 +(2k+1) *pi ]
=tan (α +pi/2) +tan (-α -pi/2)
=tan (α +pi/2) -tan (α +pi/2)
=0.

Answer 2

[tan(2α+β)+tanβ]/[1-tan(2α+β)tanβ]=tan2(α+β)
因为sin(α+β)=1,则α+β=90°,所以2(α+β)=180°
所以tan2（α+β）=0
则tan（2α+β）+tanβ=0
得证