Question

已知直线l：y=kx+1与椭圆x22+y2=1交于M、N两点，且|MN|=423．求直线l的方程．

Answer 1

解题思路：将直线代入椭圆方程，通过消元转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系，利用弦长公式求直线的斜率，从而得直线方程．

设直线l与椭圆的交点坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），
由

y＝kx+1

x2
2+y2＝1消去y得（1+2k2）x2+4kx=0，
所以x1+x2＝−
4k
1+2k2，x1x2＝0，由|MN|=
4
2
3，得(x1−x2)2+(y1−y2)2＝
32
9，
所以(1+k2)(x1−x2)2＝
32
9，即(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]＝
32
9，
所以(1+k2)(−
4k
1+2k2)2＝
32
9，化简得k4+k2-2=0，
解得k2=1，所以k=±1，
所以所求直线l的方程是y=x+1或y=-x+1．

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系．

考点点评： 本题主要考查直线与椭圆相交时，利用弦长公式求直线方程，综合性较强，运算量较大．