Question

若函数f(x)的定义域为[-2,4],则函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是________

若函数f(x)的定义域为[-2,4],则函数g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是________

希望可以写一下复合函数定义域求法

Answer 1

答案是-2≤X≤2
分析是这样的，首先，我们将g(x)中的自变量都变成m，这样方便你理解
现在变成求g(m)=f(m)+f(-m)的定义域
这个式子的定义域就是让g（m）这个函数有意义，分解开就是让后面的两个表达有意义
对于f(m)来说，要有意义则必须满足f(x)的法则，就是[-2，4]
（就是如果m=6你肯定不能带进去计算，对不对）
同理，对于f(-m)来说，就是-m必须在[-2，4]
（否则如果m=3,-m=-3，你就不能带到y=f(x)里面计算）这样就得到-m属于[-2，4]
即m属于[-4,2]
要m同时满足上面两个域才能保证g(m）有意义对吧，所以求个交集，就是[-2，2]啦

设y=f(μ),μ=φ(x), y=f(μ)=f[φ(x)]称为复合函数
定义域就是求自变量的可行范围，这样从y=f(μ)开始。要想这个能成立，μ要怎么取值，拿上面的例子来说，如果y=f(x）定义域为 [-2.4],那么μ的取值就是[-2.4]
然后再解剖下一层，μ=φ(x), 此时μ的取值就变成了函数y=μ=φ(x),的值域了
能使这个值域得到满足的x的取值就是定义域。
同时你也要考虑式子中可能出现的根号什么的，进一步排除
这样层层解剖

很详细啦~希望能帮到你~

Answer 2

1、对f(x1*x2)=f(x1)+f(x2)，令x1=1，x2=1，得
f（1*1）=f（1）+f（1）
求得f（1）=0

2、由已知条件得
f(-x)+f(-x)=f[(-x)*(-x)]=f(x^2)
f(x)+f(x)=f(x*x)= f(x^2)
所以
f(-x)+f(-x)= f(x)+f(x)
即2f(-x)=2f(x)，
所以f(-x)=f(x)
f(x)为偶函数

3、因为f（4）＝1
所以3=1+1+1= f（4）+ f（4）+ f（4）＝f（4*4）+ f（4）＝f（16）+ f（4）＝f（16*4）＝f（64）
由f（3x＋1）＋f（2x－6）≤3得
f（3x＋1）＋f（2x－6）≤f(64)
f[(3x＋1) *(2x－6)] ≤f(64)
前面已证原函数为偶函数，又已知f（x）在（0，＋∞）上为增函数，
可知f（x）在（-∞，0）上为减函数，所以
①当(3x＋1) *(2x－6)>0时，(3x＋1) *(2x－6)≤64，解不等式组得-7/3≤x<-1/3或3<x≤5；
②当(3x＋1) *(2x－6)<0时，由f[(3x＋1) *(2x－6)] ≤f(64)得f[(3x＋1) *(2x－6)] ≤f(-64)，所以(3x＋1) *(2x－6)≥-64，解不等式组得-1/3<x<3
两种情况取并集得x取值范围为
-7/3≤x≤5且x≠-1/3、x≠3