求函数y=(x-3)x^2的单调区间和极值

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科创17
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求函数y=(x-3)x^2的单调区间和极值

f(x)=y=(x-3)x²=x³-3x²
f'(x)=3x²-6x=3x(x-2)
驻点x₁=0 x₂=2
f''(x)=6x-6
f''(0)=-6<0
f''(2)=6>0
∴f(0)=0是极大值,f(2)=-4是极小值
∴x∈(-∞,0)∪(2,+∞) 为单调递增区间
x∈(0,2) 为单调递减区间。

求函数f(x)=(x-3)e^x的单调区间和极值

f'=(1-x+3)e^x=(4-x)e^x
令 f'=0 得 x=4
x (-∞, 4) 4 (4,+∞)
f'(x) + 0 -
f(x) 增 极大e^4 减
∴f(x) 在 (-∞, 4) 递增, 在 (4,+∞)递减,在x=4取得极大值e^4.

求函数y=3x-x^2的单调区间和极值

此函数是抛物线,开口向下;
对称轴x=3/2,即当x=3/2时函数y有极小值,y=3*(3/2)-(3/2)²=-9/4;
(-∞,3/2],函数单调增加;[3/2,+∞),函数单调减小;

求函数f(x)=(x+1)^4 (x-3)^3 单调区间和极值

f'(x)=4(x+1)^3(x-3)^3+3(x+1)^4(x-3)^2=(x+1)^3(x-3)^2[4x-12+3x+3]=(x+1)^3(x-3)^2(7x-9)
由f'(x)=0,得x=-1, 3, 9/7
x=3在左右邻域,f'(x)不变号,因此x=3不是极值点;
x=-1为极大值点,x=9/7为极小值点;
单调增区间:x<-1或x>9/7
单调减区间:-1<x<9/7
极大值f(-1)=0
极小值f(9/7)=-16^4*12^3/7^7

求函数y=(1/3)x^3 - x^2 + 2 的单调区间和极值

y=(1/3)x³ - x² + 2
y ′ = x² -2x = x(x-2)
x<0或x>2时单调增
0<x<2时单调减
极大值f(0)=0-0+2=2
极小值f(2)=1/3*8-4+2 = 2/3

求函数y=x^2lnx的单调区间和极值

由题意可知函数的定义域为:(0,+∞)
又f′(x)=2x•lnx+x2•1/x==2x•lnx+x,
由f′(x)≤0知,2x•lnx+x≤0。
∴0≤x≤e^(-1/2)
又因为x>0,所以函数的递减区间是(0, e^(-1/2)),函数的单调增区间为( e^(-1/2),+∞)。
函数在x=e^(-1/2)时函数取得极小值:y极小=f[e^(-1/2)]=-1/2e.

求函数y=x ³ -6x 2的单调区间和极值

y=x³-6x+2
y ′ = 3x²-6 = 3(x+√2)(x-√2)
单调增区间:(-∞,-√2),(√2,+∞)
单调减区间:(-√2,√2)
极大值f(-√2) = -2√2+6√2+2 = 4√2+2
极小值f(√2) = 2√2-6√2+2 = -4√2+2

求函数y=x^2-2x+4的单调区间和极值

y=x^2-2x+4
=(x-1)^2+3
所以在(-无穷,1]上,单调递减
在(1,+无穷)上,单调递增
当x=1时,有极小值3

求函数y=x^3-3x^2-9x-2的单调区间和极值

先对y求一次导,得x??-2x-3,令x??-2x-3=(x-3)(x+1)=0得x1=-1,x2=3;x属于(-∞,-1) 时,y的一阶导为“+”,x属于(-1,3) 时,y的一阶导为“—”,x属于(3,+∞) 时,y的一阶导为“+”。
故有,y在x=-1时取得极大值,极大值为y(-1)=﹣1-3+9-2=3;y在x=3取得极小值,极小值为y(3)=﹣29。
单调区间:增区间:(-∞,-1)∪(3,+∞) ;减区间:(-1,3)

求函数:y=e^(2x)-e^(-2x)的单调区间和极值?

y'=2e^(2x)+2e^(-2x)恒正,单调增,无极值

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