Question

如何证明椭圆的焦点为椭圆的一个焦点？

Answer 1

简单证明如下：

根据椭圆定义，椭圆上任一点到焦点的距离与到准线距离的比是常数e(离心率)。 

焦点F，长轴交准线于E，通径PQ=PF+QF=e(PM+QN)=2eFE，任一过焦点的弦AB，设AB中点G，GH垂直于准线，垂足E，GH为梯形ABDC中位线，AB=AG+BG=e(AC+BD)=2eGN，FE≤GN，PQ≤AB。

椭圆通径过焦点的弦最短的原因：

过焦点F的弦AB长 = FA+FB = 离心率·(A到准线的距离+B到准线的距离)

= 2·离心率·AB中点到准线的距离.

设AB中点为M, 若FA ≥ FB, 则F在线段BM上.

M到准线的距离 ≥ B到准线的距离, 可知M到准线的距离 ≥ F到准线的距离.

而AB为通径时, M到准线的距离 = F到准线的距离.

此时M到准线的距离取到最小值, 于是AB长度也取得最小值.