Question

若a^2+b^2=1,则b-2/(a-1)的最小值是 ,a/3+b/4的最大值是

Answer 1

(1)
令a=sin(2m),b=cos(2m)
则(b-2)/(a-1)=(cos(2m)-2)/(sin(2m)-1)
用倍角公式：sin(2m)=2tanm/(1+(tanm)^2),cos(2m)=(1-(tanm)^2)/(1+(tanm)^2)
于是(b-2)/(a-1)=(3(tanm)^2+1)/((tanm)^2-2tanm+1)
令tanm=p,令x=(b-2)/(a-1)
则x=(3p^2+1)/(p^2-2p+1)
整理即：(x-3)p^2-2xp+x-1=0
这是关于p的方程,如果x=3,方程有实根,满足题意
如果x不等于3,方程有实根,则判别式不小于0,于是4x^2-4(x-3)(x-1)>=0
解出x>=3/4
所以则(b-2)/(a-1)的最小值为3/4,此时p=1/3,a=3/5,b=4/5
(2)
类似上面的做法,得到a/3+b/4=(-3p^2+8p+3)/(12+12p^2),令y=a/3+b/4
得到(12y+3)p^2-8p+12y-3=0
如果y=-1/4,则方程有实根,满足题意
如果y不等于-1/4,由判别式不小于0,可以得-5/12