Question

抛物线问题

(1)抛物线焦点弦端点A,B与原点连线的斜率之积等于定值-4
(2)以焦点弦A,B为切点的两条切线互相垂直

Answer 1

1)
AB为抛物线上的点，设点A到准线l的投影是A',B为B'。所以AA'=AF,BB'=BF。
M是AB的中点，所以2MN=AA'+BB'=AF+BF=AB。所以MN=AM=BM。所以点ABN在同一个园上，园心是M。所以AN⊥BN

2)
延长AN交BB'延长线于C。
AA'//BB',A'N=B'N。所以AN=NC。因为AN⊥BN所以角C=角BAN=角A'AN。
AF=A'F,角BAN=角A'AN。所以角AFN=角AA'N=90度，即FN⊥AB

3)
QF=QN。所以角QNF=角QFN。角QNF+角QMF=90度；角QFN+角QFM=90度
所以角QMF=角QFM。所以QF=QM=QN
所以Q平分MN.

做关于抛物线、椭圆和双曲线的题，若问题是类似于证明几何结构性质的，则可以尝试考虑它们的第二定义，即到焦点与到准线的关系。而且此类问题有时候会和圆有一些关联。若实在想不出来可以尝试带入坐标计算，列出方程组然后再解，这种办法一般用于问题与坐标明显有关系的问题。
若问题是有关几何结构的，常用几何证明的方法，若问题时有关坐标的，有时候对几何证明的合理运用可以减少很多的计算量。关于如何选择合适的方法去解题，我觉得一般点的题型都会有对应的常规解法，这就需要你平时的练习和积累了。还有一个就是如果你在这个思路上已经用了很长的时间（5分钟左右）还没解出来或者解题的形式很麻烦（出题人一般不会考你笔算能力），你就要立刻尝试新办法。