lnx＜x＜e∧x,x＞0.利用函数的单调性,证明.
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证明
构造函数f(x)=x-lnx (x＞0)
求导得f'(x)=1-1/x=(x-1)/x
当x＞1时,f'(x)＞0
当0＜x＜1时,f'(x)＜0
故当x=1时,y=f(x)有最小值
f(x)≥f(1)=1-ln1=1-0=1＞0
即x-lnx＞0
即x＞lnx
构造函数g(x)=e^x-x(x＞0)
求导g'(x)=e^x-1
当x＞0时,e^x＞1,即e^x-1＞0,即g'(x)＞0
故g(x)是增函数
故g(x)≥g(0)=e^0-0=1＞0
即e^x-x＞0
故e^x＞x
故综上知
lnx＜x＜e∧x,x＞0
构造函数f(x)=x-lnx (x＞0)
求导得f'(x)=1-1/x=(x-1)/x
当x＞1时,f'(x)＞0
当0＜x＜1时,f'(x)＜0
故当x=1时,y=f(x)有最小值
f(x)≥f(1)=1-ln1=1-0=1＞0
即x-lnx＞0
即x＞lnx
构造函数g(x)=e^x-x(x＞0)
求导g'(x)=e^x-1
当x＞0时,e^x＞1,即e^x-1＞0,即g'(x)＞0
故g(x)是增函数
故g(x)≥g(0)=e^0-0=1＞0
即e^x-x＞0
故e^x＞x
故综上知
lnx＜x＜e∧x,x＞0
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