Question

求微分方程dy/dx=e^y+sin+x的通解

Answer 1

这是一个一阶非齐次常微分方程，我们可以使用变量分离法来求解。
将式子变形，得到：dy/dx - e^y = sin x
接下来，我们需要找到一个积分因子，使得将方程乘以积分因子后，左侧可以写成一个导数的形式。由于方程中只含有 y 和 x，我们可以尝试将积分因子设为 e^(-x)。
将方程乘以 e^(-x)，得到：
e^(-x) dy/dx - e^(-x+ y) = sin(x) e^(-x)
左侧可以写成 (e^(-x) y)' 的形式，于是有：
(e^(-x) y)' = sin(x) e^(-x)
对两边同时积分，得到：
e^(-x) y = -cos(x) + C
其中 C 为积分常数。将 y 移项，得到方程的通解为：
y = ln(C + cos(x)) + x
其中 C 是任意常数。

Answer 2

解:若微分方程为dy/dx=eʸ+sinx，设eʸ=u，有y=lnu，微分方程化为u'/u=u+sinx，u'/u²-sinx/u=1，再设-1/u=v，微分方程化为v'+vsinx=1，v'e⁻ᶜᵒˢˣ+vsinxe⁻ᶜᵒˢˣ=e⁻ᶜᵒˢˣ，(ve⁻ᶜᵒˢˣ)'=e⁻ᶜᵒˢˣ，ve⁻ᶜᵒˢˣ=∫e⁻ᶜᵒˢˣdx+c(c为任意常数)，v=eᶜᵒˢˣ∫e⁻ᶜᵒˢˣdx+ceᶜᵒˢˣ，微分方程的通解为-e⁻ʸ=eᶜᵒˢˣ∫e⁻ᶜᵒˣdx+ceᶜᵒˢˣ

解微分方程

请参考