一道高一几何题
如图,正三棱锥ABC-A1B1C1的底面边长为2,点E,F是棱CC1,BB1的点,点M是线段AC上的点,EC=2FB=2,则点M在什么位置时,MB平行平面AEF?...
如图,正三棱锥ABC-A1B1C1的底面边长为2,点E,F是棱CC1,BB1的点,点M是线段AC上的点,EC=2FB=2,则点M在什么位置时,MB平行平面AEF?
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解:(1)延长B1A1,于B1A1的延长线上取点E1,使E1M为4cm;延长BA,于BA的延长线上取点E,使EA为2cm,连接EE1,取EE1的中点为Q。连接QM。
证明QM为D,M,N的面与面AA1B1B的交线
取面平面AA1B1B的中心为O,连接FO,FO与AA1的交点记为G,连接B1G。
因为,点F,G,B1,M位于同一平面,FG‖MB1,FG=MB1=2cm
所以,FGB1M为平行四边形
所以,FG‖GB1
因为,GB1‖DN
所以,FG‖GB1‖DN
所以,FG∈面AA1B1B,且FG∈面DMN
所以FG为面DMN与面AA1B1B的交线。
延长BB1,延长FM交BB1的延长线于H,连接NH。
证明NH为面DMN与面BB1C1C的交线
H为FM延长线上的一点,同时H为BB1延长线上的一点
所以H∈面B1BCC1,且H∈面DMN
因为N∈面DMN,N∈面B1BCC1
所以NH为面DMN与面BB1C1C的交线
(2)从题目分析可得,NH与B1C1的交点即为P
连接PM,PN
因为,△FE1M≌△HB1M
所以,B1H=1cm
因为,△NC1P≌△HB1P
所以,B1P=4/3cm,C1P=8/3cm
因为B1M=NC1=2cm,
所以PM+PN=(10+√52)/3 cm
(2)
证明QM为D,M,N的面与面AA1B1B的交线
取面平面AA1B1B的中心为O,连接FO,FO与AA1的交点记为G,连接B1G。
因为,点F,G,B1,M位于同一平面,FG‖MB1,FG=MB1=2cm
所以,FGB1M为平行四边形
所以,FG‖GB1
因为,GB1‖DN
所以,FG‖GB1‖DN
所以,FG∈面AA1B1B,且FG∈面DMN
所以FG为面DMN与面AA1B1B的交线。
延长BB1,延长FM交BB1的延长线于H,连接NH。
证明NH为面DMN与面BB1C1C的交线
H为FM延长线上的一点,同时H为BB1延长线上的一点
所以H∈面B1BCC1,且H∈面DMN
因为N∈面DMN,N∈面B1BCC1
所以NH为面DMN与面BB1C1C的交线
(2)从题目分析可得,NH与B1C1的交点即为P
连接PM,PN
因为,△FE1M≌△HB1M
所以,B1H=1cm
因为,△NC1P≌△HB1P
所以,B1P=4/3cm,C1P=8/3cm
因为B1M=NC1=2cm,
所以PM+PN=(10+√52)/3 cm
(2)
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