Question

高数.怎么用向量的向量积证明余弦定理？

Answer 1

余弦定理是指在一个任意三角形ABC中，设AB=c, BC=a, AC=b，夹角A对应的角度为α，则有：
cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)
下面我们可以使用向量的向量积来证明余弦定理。
我们可以将三角形的三个边向量表示为向量OA=a, OB=b和OC=c，其中O为任意点。
现在，我们可以使用向量的向量积定义来计算夹角BAC的正弦值，如下所示：
|a × b| = absin(α)
其中，a × b表示向量a和b的向量积，|a × b|表示它们的模，即|a × b| = |a| |b| sin(α)。
同样地，我们可以使用向量的点积定义来计算向量a和b的夹角余弦值，如下所示：
a · b = |a||b|cos(α)
其中，a · b表示向量a和b的点积，|a|和|b|分别表示它们的模，即|a||b|cos(α) = a · b。
现在，我们可以根据向量的向量积和点积的定义来计算向量OA和OB的夹角余弦值cos(α)：
cos(α) = (a · b) / (|a| |b|)
cos(α) = (a · b) / (ab)
cos(α) = (a · b) / (|a| |b|)
cos(α) = (a · b) / (|a| |b|)
由于三角形的向量表示可以选择任意点，所以我们可以选择点O使向量OA与向量OB重合，因此，a · b = |a||b|，将其代入上式，得到：
cos(α) = (a · b) / (ab) = 1
因此，我们得到了余弦定理的结果：
cos(α) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)
这样，我们就用向量的向量积证明了余弦定理。