Question

已知4x²➕5x²=1,求3x²➕2xy➕y²的取值范围？

Answer 1

将4x²+5y²=1化简为标准式，得到：
4x²+5y²=1 => (2x)²/1²+(y/√(1/5))²=1
可见椭圆长半轴为a=1，短半轴为b=√(1/5)。
现在考虑求3x²+2xy+y²的取值范围。首先将其表示为矩阵形式：
(3x y)·(3 1; 1 1)·(x y)T
记矩阵A=(3 1; 1 1)，则矩阵A的特征值为：
λ1=4，λ2=1
由于λ1>λ2>0，因此矩阵A是正定的，即对于任意非零向量(x,y)，都有(x,y)·A·(x,y)T>0。
因此，3x²+2xy+y²的取值范围是所有正实数，即[0,+∞)。