Question

二次函数最值问题

抛物线y=ax²+bx+2与x轴的交点A(3,0),B（6，0），与y轴的交点c，设p （x,y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点p作PQ‖y轴，交直线BC于点 Q,当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值？其最大值是多少？（抛物线开口 向上）

Answer 1

具体解答： 将A（3,0）B（6,0）带入抛物线方程y=ax²+bx+2，求出a=1/9,b=-1
再求抛物线与Y轴的交点坐标，即令x=0带入抛物线方程求得的点C坐标为（0,2）
接着求出过BC的直线方程：设过BC的直线方程为y=kx+b，将点B、点C带入直线方程求得直线方程为y= -1/3x+2 再令线段PQ的长度为L，由于在0<x<6的范围内，过BC的直线始终在抛物线上方，所以L的长度就是直线方程减去抛物线的方程 即 L= -1/3x+2-(1/9x²-x+2)= -1/9x²+2/3x,最后就是求这个一元二次方程的最大值解了，可将方程L化成L= -1/9(x-3)²+1 开口向下，有最大值，也就是当x=3时 线段PQ取最大值，且最大值为1 解答完毕！

Answer 2

题目不全，当x<0,或x>6时，显然PQ无最大值，不妨设0<x<6
抛物线y=ax²+bx+2与x轴的交点A(3,0),B（6，0），得
9a+3b+2=0
36a+6b+2=0
a=1/9,b=-1
y=1/9x^2-x+2
C点为(0，2)
直线BC：y=-x/3+2
|PQ|=(-x/3+2)-(1/9x^2-x+2) 0<x<6
=-x^2/9+2x/3
=-1/9*(x-3)^2+1
≤1 x=3时，取等号

Answer 3

把AB点坐标代入抛物线，可解得：
a＝1/9
b＝-1
解析式：y=(1/9)x²-x+2
C(0,2)
故可求出BC直线方程为：x+3y+6＝0
Q点位于直线BC上，横坐标与P点相同，故|PQ|＝x(6-x)/9 （0＜x＜6）
显然：x(6-x) ≤[(x+6-x)/2]²＝9
∴|PQ|≤9/9＝1,仅当x＝6-x，x＝3时取得！

Answer 4

那个。。我不画图了，文字描述
解：设PQ交X轴与A点，当0<x<3时，则PQ的延长线交X轴与A点
y=ax²+bx+2与x轴的交点A(3,0),B（6，0）
9a+3b+2=0
36a+6b+2=0
解得a=1/9,b=-1
y=1/9(x - 9/2)² -1/4 ,当x=0时，y=2,解得C（0,2）
PQ‖y 由相似三角形定律得
QA/CO=BA/BO
设QA长度=c,c=（BA*CO)/BO =[(6-x)*2]/6 =2- (1/3）x
当3<=x<6时， PQ=c+y=2- (1/3）x+1/9(x - 9/2)² -1/4 （y是P点的y- -）
=1/9(x-6)² (3<=x<6)
y最大时x=3 y=1 (即A点与P点重合)
当0<x<3时， PQ=c-y=2- (1/3）x-1/9(x - 9/2)² -1/4
= -1/9(x-2)²+4/9
y最大时x=2，y=4/9
综上解得x=3时，PQ取得最大值，最大值为1