Question

对高一数学题的疑问，某人年初向银行贷款10万元，分十年还款，年利率为4％，若等额还款

苏教版数列应用题高一数学教案和5年高考、3年模拟数学2010年版第55页，易错题清单中同时有一道题如下：
〔例1〕某人年初向银行贷款10万元用于购房.
（Ⅰ）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应付多少元？
解：（Ⅰ）若向建设银行贷款，设每年还款x元，
则10∧5×(1＋10×5%)＝x(1＋9×5%)＋x(1＋8×5%)＋x(1＋7×5%)＋…＋x
即：10∧5×1.5＝10x＋45×0.05元，解得x≈12245(元)

我作为一个高中学生家长对此题的解题思路，结果有不同的看法
我对原方程解题思路分析如下
方程等式左侧为：10∧5×(1＋10×5%)可以理解为10万元贷款10年一次还款的本金加利息
方程等式右侧应为：10次等额还款总额加上还款本金未发生的利息
而实际为：10次等额还款总额加上每年还款额所产生的利息
我认为原题的解法失误在于把未发生的利息计算错误，因为是不计复利，所以未发生的利息应以还款本金来计算，而原题是以还款额来计算的，而还款额中包含了利息，这样计算的未发生的利息含有部分复利，因此计算的还款额过小。

本人认为方程应为：每年还款额去掉每年的利息为那一年的还款本金，10年的还款本金之和应等于10万元，因此我认为本题解法如下：
解：（1）若向建设银行贷款，设每年还款x元，
方程为：10∧5＝x/(1＋5%)＋x/(1＋2×5%)＋x/(1＋3×5%)＋…＋x/(1＋10×5%)
解得x≈12587(元)

在这里我也请本题出处的编者、高中老师及专家对我的分析给与批评指正，作为一名学生的家长我希望我的分析是错的，那么请各位专家帮我分析一下原题的解题思路，如果原题解题有误，恳请编者及时更正。

提示借贷有风险，选择需谨慎

Answer 1

你的思路是对的，但是每年还款本金是求不出来的。这个题目并没有定义什么是还款本金，所以不是你想的那样“每年还款额去掉每年的利息为那一年的还款本金”，这跟还款本金不搭界。希望你再仔细想一想。
正解如下：
解：（1）若向建设银行贷款，设每年还款X元，则一共偿还了10X，一共偿还的钱等于本金加利息，则有
10X=10+10x5%+(10-X)5%+(10-2X)5%+(10-3X)5%+……+(10-9X)5%
解得x≈12245(元)
方程左边是总共要还的钱
右边第一项是本金，第二项是第一年产生的利息，第三项是第二年产生的利息.......

Answer 2

本人不是编者，也不是高中老师及专家，但我可以明确告诉你，你是错的。
解：（1）若向建设银行贷款，设每年还款X元，则一共偿还了10X，一共偿还的钱等于本金加利息，则有
10X=10+10x5%+(10-X)5%+(10-2X)5%+(10-3X)5%+……+(10-9X)5%
解得x≈12245(元)
看来你是没有理解什么是单利、复利，如果是复利的话第二年偿还的利息就不是(10-X)5%，而是【10（1＋5%）-X】5%了
1、10-9X是你还欠银行的钱，没还完就得交利息，所以（10-9X）5%，不要因为看到式子里面有X，又乘以5%就把它当做复利了
2、你的计算方程我没看懂“10∧5“是什么？
3、我立的方程绝对原创，推荐答案也是COPY我的
4、实在佩服你的这种执着精神

我查阅了相关资料：
单利：单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息。其公式为：
利息＝本金×利率×时期
以符号Ⅰ代表利息，p代表本金，n代表时期，i代表利率，s代表本利和，则有Ⅰ＝p.i.n
S＝P（1＋ni）
如果按上述计算每年还款额为：10×(1＋10×5%)/10=1.5万元
现在我也很困惑了，可能是我们对银行贷款计算方法不够了解吧，希望银行界的朋友能够帮你答疑解惑，也祝你孩子学习进步！

Answer 3

我是“我是洪臣”感谢大家回答我的问题
我同意Just_go_home 及美丽的大主题 “一共偿还的钱等于本金加利息”的观点，并且我差一点就采纳了你们的观点，但你们的得数和原题一致让我对你们的计算过程产生了怀疑，
那么回答我一个两难问题
1、设每年的还款额X全部是本金，那么全部还款额10X=122450元大于10万元，显然是错误的。
2、设每年的还款额X包括本金和利息，那么计算利息时(10-2X)5%这种算法是错误的，首先不能用10万元减去2X，第二X不能与利率5%相乘，因为X中有利息，这样又产生了复利，显然这也是错误的。
还有让我假设你们的方程右侧是正确的，你们的解题思路是先期还本金，后还利息，那么八年后还款额为97960元，也就是第九年还款额中只有2040元是本金，其余是利息，第十年全部是利息，那么(10-9X)5%+(10-9X)5%所计算出的只能是复利，与题意相矛盾。
在此，我也请求各位朋友回答时，除了给我标准答案，还要给我一些理由来说服我，也就是要证明你的答案是正确的。
我认为我的解题思路，及方程也没有错，如果错了也请大家指出错在哪里，并能有说服我的理由。
同时我也回复一下“热心网友”。每年还款本金是能求出来的，设每年还款X元，其中包括本金及此本金在使用其间产生的利息，计算如下：
第n年 还款额X=本金（1+n×5%）
则第n年还款本金为 本金=X / （1+n×5%）
我个人认为官方教课书上的题不能是错的，是否原题还有附加条件，或者银行有特殊的计算方法，而这种计算方法并不符合纯数学计算，数学书又把银行特殊的计算方法直接引用，造成错误。那么，银行是否有没有公布的前提条件，在这里也请银行界的朋友说明一下。

Answer 4

感谢Just_go_home回答我的问题
但你还没有说服我
1、我说的复利是指在你的计算中利息又产生了利息，我不想要复利，不管它是全部的，还是部分的，你只告诉了我复利的计算，但没有回答两难问题。还款额X是纯本金，还是本金加利息，如果是纯本金，显然是错误的，本金多了，利息你又没还；如果是本金加利息，那么10-9X是什么，怎么能用本金去减利息，减完后所代表的是什么钱，为什么还可以乘以利率5%
2、也请你仔细研究我的假设，然后用你的结果去验算一下你的方程式右侧十一项，哪个是本金，哪个又是利息，也就是当算到10-9X时“10-9X”又是什么钱。不要简单告诉我“但我可以明确告诉你，你是错的。”请给我理由。
3、我已经对你的方程进行了分析，其不成立，理由是：你的方程式右侧应为全部本金加上全部本金在第一年产生的利息，再加上第一年末剩余本金在第二年产生的利息，再加上第二年末剩余本金在第三年产生的利息，依次类推，思路和理论是对的，但问题是在计算剩余本金时出现了问题，10-X是否能代表第一年末剩余本金？这又是两难问题，如果是，那么X就是还给银行的纯本金，不包含利息，显然是错的；如果不是，那么就不能用10-X计算第二年产生的利息。因此，你的方程是错误的。
在这里我也请Just_go_hom能回答我以下几方面内容：
第一：证明我所说的三条是错的；
第二：证明我所的计算方程是错的，错在哪里，为什么错；
第三：你列的方程是你自己做出来的，还是引用的。

我是“我是洪臣”
首先，声明一下，1、我还没有采取任何答案，可能是操作错了出现了推荐答案
2、不知道为什么我只能回答一次，所以只能修改原有答案
时间为 2010-12-2 15：25
再次感谢Just_go_hom给我的回答，其实我并不是执著，而是没明白，我就没有办法辅导我的孩子，所以我还有几个问题要和你探讨：
首先要回答Just_go_hom：
1、“10∧5”是10的5次方也就是10万元
2、你真的没有回答我的两难问题，也就是每年的还款是纯本金还是部分本金加上利息，你只是转移话题或者说在偷换概念，你也不用急着回答，用你的答案去验证你的方程右侧，看一看每一项还是不是最初所代表的意思
3、10-9X真不是还欠银行的钱，如果X=12245元的话，10-9X是负数，难道银行还欠你的钱不成，很显然是错的，经不起推敲。
4、假设10-9X是还欠银行的钱，但它是本金还是利息你没有明确，如果X是纯本金的话，全部本金已在9年的时间内全部还清，第十年还的只是利息，只有本金才能乘以5%；如果X是本金加上利息的话，那么方程真的是错的，10-X真的不能代表第一年末剩余本金，只有剩余本金才能乘以5%，你再思考一下，我真的不是没看懂。
其次也请Just_go_hom帮我分析一下我的解题思路及方程计算，转变一下思路，也许我的是对的。
本人认为正确的方程应为：第n年的还款本金加上第n年的还款本金在使用期间所产生的利息为第n年的还款额，10年的还款本金之和应等于10万元，因此我认为本题解法如下：
解：（1）若向建设银行贷款，设每年还款x万元（x代表的意思为部分本金与部分本金在使用期间所产生的利息之和），
方程为：10＝x/(1＋5%)＋x/(1＋2×5%)＋x/(1＋3×5%)＋…＋x/(1＋10×5%)
解得x≈1.2587(万元)

再次感谢Just_go_hom 的解答.

Answer 5

加入计算复利：公式是这样的，A=i(1+i)^n/<(1+i)^n-1>,A就是年值，每年应等额支付的，I 就是利率，N是年限，单利就更好算了，还有你的题目是等额还本还是等额还本付息？！这是很简单的计算过程了，买房一般就是遇到这类事件，你不如去下个软件，直接就可以计算。