Question

如何理解n阶矩阵A可逆的充要条件？

Answer 1

n阶矩阵A可逆的充要条件：

1、|A|不等于0。

2、r（A）=n。

3、A的列（行）向量组线性无关。

4、A的特征值中没有0。

5、A可以分解为若干初等矩阵的乘积。

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一、可逆矩阵的定义：

矩阵A为n阶方阵，若存在n阶矩阵B，使得矩阵A、B的乘积为单位阵，则称A为可逆阵，B为A的逆矩阵。若方阵的逆阵存在，则称为可逆矩阵或非奇异矩阵，且其逆矩阵唯一。

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二、逆矩阵的性质：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

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三、矩阵代数应用：

矩阵代数提供了对矩阵方程进行运算的工具，许多工具与普通代数运算有相似的地方，矩阵代数中逆矩阵对应的就是代数运算中的除法。它本身就是一种计算工具。在求解矩阵方程、非奇异矩阵的伴随矩阵、对角化等都会用到逆矩阵的概念。

出了具体的线性代数课本，逆矩阵在工程方面的应用其实有很多。如弹性矩阵的逆矩阵称为刚性矩阵。

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