Question

大学高数求极限

122题 最后解答中 那个解得后面的an怎么算出来的？

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Answer 1

前面方程组全部相加，得
an - a1 = 1+1/3+1/3^2+......+1/3^(n-2)
是等比数列的和，则
an - 1 = [1-1/3^(n-1)] / (1-1/3) = (3/2) [1-1/3^(n-1)]
an = 1+ (3/2) [1-1/3^(n-1)]

追问

为什么是3的n-1次而不是3的n-2次呢？

追答

等比数列前 n 项和公式：
a + aq + aq^2 + ...... + aq^(n-1) = a(1-q^n)/(1-q)

本题是前面方程组的 n-1 个方程相加，q = 1/3, 代上述公式得
an - a1 = 1+1/3+1/3^2+......+1/3^(n-2) （共 n-1 项）
= [1-1/3^(n-1)] / (1-1/3)