Question

设由方程e^+y+sin(+xy²)=x+y,确定y是x的函数,求y(x)

Answer 1

首先，我们把方程化为 $y$ 显式的形式。将 $x$ 和 $y$ 互换，然后解出 $y$：

��+sin⁡(��2)=�−�ey+sin(xy2)=y−x

现在我们要求出 $y$ 是 $x$ 的函数，因此需要解出 $y$ 和 $x$ 之间的关系。注意到方程左侧不包含 $x$，因此我们可以视为一个已知的常数 $C$：

��+sin⁡(��2)=�ey+sin(xy2)=C

解出 $y$，得到：

�=arcsin⁡(�−��)�y=xarcsin(C−ey)

由于我们要求 $y$ 是 $x$ 的函数，因此需要排除解中可能存在的多值性。因为 $\arcsin(u)$ 的定义域是 $[-1, 1]$，而 $C-e^y$ 的值域是 $(-\infty, \infty)$，因此 $C$ 需要满足 $-1 \leq C - e^y \leq 1$ 才能确保 $\arcsin(C-e^y)$ 有意义。因此，我们可以选择 $C$ 的值域为 $[e^{-1}, e+1]$。

因此，最终的解为：

�(�)=arcsin⁡(�−��)�,�∈[�−1,�+1]y(x)=xarcsin(C−ey),C∈[e−1,e+1]

注意到这个解是一个隐式方程，需要数值计算才能得到具体的函数值。