Question

用数学归纳法证明

考察数列1，2，3，4，5，10，20，40，。。。该数列开头是等差数列，第五项以后是等比数列。证明：任意一个正整数能表示成这个数列中的不同数之和！！
看到两位的回答---虽然不太详细，但给了我一些提示，思考了一下，两位说的都有一些道理，细细分析了一下，已经解决，下面理一下思路，希望对遇到该问题的人有所帮助。

n=1 成立
假设n=k时成立，k=a1+a2+...+as
当n=k+1时，
----->思考一个问题:a1,a2,...as中是否都含有1,2,3,4,5五个数？
答案是否定的:因为如果都包含这五个数,则必然会用10来替换这五个数中的其中几个,你可能会问:那么10若在a1,a2,...as中呢？这时就要用到等比数列的性质了,此时可以10+10=20，用20来进一步替换,若20也在其内,则20+20=40,以此类推。。。最后的结论就是:若a1,a2,...as中含有1,2,3,4,5五个数,则a1,a2,...as中必然会产生一个更大的数,而消去其中的某些数,从而达到去除1,2,3,4,5五个数中的几个数。

好,那么由于a1,a2,...as中不同时含有1,2,3,4,5五个数,此时k+1,可以通过1+某个存在的数=某个不存在的数,从而达到任意一个正整数能表示成这个数列中的不同数之和，结论成立！

看到了w_gh2010的更新---方法很好-----强烈推荐！！！

Answer 1

n=1 成立 n=2 成立
假设n=k时成立
n=k+1时 设k=a1+a2+...+as，a1、a2、...、as都是那个数列中的数
若1不属于这s个数中，则k+1=1+a1+a2+...+as 成立
若1属于这s个数中，则把1换成2就可得到k+1的表达式
有数学归纳法知命题成立
不好意思~
更新
n=k+1时，考虑比k+1小的这个数列里最大的数，设为b
则k+1-b这个数由归纳法知可以有这个数列里的一些数表示，且这些数不可能包含b
因为如果b在这个表示法里，就说明k+1-b>b，所以2b<k+1，而2b属于上面那个数列，这与b的最大性矛盾。
OK

本质上就是把整10的数用二进制表示，个位再用前面几个数组合

Answer 2

分两步进行：对于小于10的正整数，可由前5项中的2项组合而得！
对于大于10的，其个位数由第一步结果可得，其余的由等比数列中的不同项求和可得！