Question

椭圆的中心为坐标点,一个点坐标是(-)离心率+(√3)/3+(1)求圆的标准方程;+(2)？

椭圆的中心为坐标点,一个点坐标是(-)离心率 (√3)/3
(1)求圆的标准方程;
(2)经过作直线交椭圆于A,B两点,F,是椭圆的另一个焦点,求S
的取值范围

Answer 1

以(-eccentricity, sqrt(3)/3, 1)为中心的椭圆的标准方程式为：(x + e)2/a2 + (y - sqrt(3)/3)2/b2 = 1 其中a和b分别为半长轴和半短轴的长度。焦点位于(-eccentricity + a, sqrt(3)/3)和(-eccentricity - a, sq

Answer 2

(1) 椭圆的中心为坐标点，一个点坐标是 (-)离心率 (√3)/3，说明这个点在椭圆的左半边，因为离心率是小于1的正数，椭圆的长轴在x轴上。设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则椭圆的标准方程为：
(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1
其中，(h,k)为椭圆中心的坐标。由于椭圆的中心为坐标点，因此(h,k)=(0,0)。又因为一个点坐标为(-)离心率 (√3)/3，则
(-)离心率 (√3)/3 = a*e
其中，e为椭圆的离心率。由于椭圆的离心率小于1，因此：
e = √(1 - b²/a²)
将 √3/3 和 e 带入上式，可得：
√3/3 = a*√(1 - b²/a²)
将 √3/3 平方，化简得：
1/3 = a²*(1 - b²/a²)
移项得：
b²/a² = 2/3
将 b²/a² 的值代入椭圆的标准方程，可得：
x²/a² + y²/(2a/√3)² = 1
化简得：
x²/a² + 3y²/4a² = 1
因此，椭圆的标准方程为 x²/a² + 3y²/4a² = 1。
(2) 经过作直线交椭圆于A,B两点，F 是椭圆的另一个焦点。设点F的坐标为 (c,0)，其中 c 是椭圆的焦距之一，有：
c² = a² - b² = a² - (2a/√3)²*(2/3) = a² - 4a²/9
化简得：
c = a*√5/3
点A、B、F在同一直线上，且点F在椭圆的右半边，因此点A和点B在椭圆的左半边。设点A的坐标为(-x,y)，点B的坐标为(x,y)，则有：
(-x)²/a² + y²/(2a/√3)² = 1
x²/a² + y²/(2a/√3)² = 1
联立以上两个方程，消去 y²，得到：
x²/a² = 1/2
因此，x = a/√2 或 x = -a/√2。
由于点A、B、F在同一直线上，设点S的坐标为 (s, t)，则点S到点A、B、F的距离之和等于2a，即：
SA + SB + SF = 2a
根据点到椭圆焦点的距离公式可得：
SA = SB = √(x² + y² - c²)
SF = √(x² + y² + c²)
代入上式，得到：
2√(x² + y² - c²) + √(x² + y² + c²) = 2a
由于 c = a*√5/3，代入上式，得到：
2√(x² + y² - a²/9) + √(x² + y² + 4a²/9) = 2a
将 x² + y² 用 s² + t² 替换，得到：
2√(s² + t² - a²/9) + √(s² + t² + 4a²/9) = 2a
移项，整理后得到：
s² + t² = a²/3
因此，点 S 的取值范围为 x