Question

(8)已知+a^2-4a+1=0+,则+(a^4+3a^2+1)/(a^4-a^2+1)=？

Answer 1

观察给定的方程 +a^2 - 4a + 1 = 0，我们可以通过移项来得到：
a^2 + 1 = 4a
我们可以将 a^4 + 3a^2 + 1 分子和 a^4 - a^2 + 1 分母分别表示为：
a^4 + 3a^2 + 1 = (a^2 + 1)^2 + a^2
a^4 - a^2 + 1 = (a^4 + 1) + (-a^2)
将上述结果代入原式中，我们得到：
(a^4 + 3a^2 + 1)/(a^4 - a^2 + 1) = [(a^2 + 1)^2 + a^2]/[(a^4 + 1) - a^2]
将 a^2 + 1 = 4a 带入上式，我们得到：
[(a^2 + 1)^2 + a^2]/[(a^4 + 1) - a^2] = [(4a)^2 + a^2]/[(a^4 + 1) - a^2]
化简后，我们得到：
[(4a)^2 + a^2]/[(a^4 + 1) - a^2] = (16a^2 + a^2)/(a^4 + 1 - a^2)
因此，
(a^4 + 3a^2 + 1)/(a^4 - a^2 + 1) = (16a^2 + a^2)/(a^4 + 1 - a^2) = 17a^2/(a^4 + 1 - a^2)
注意到 a^2 + 1 = 4a，我们可以将分母化简：
a^4 + 1 - a^2 = a^4 - a^2 + 4a^2 + 1 - 4a^2 = (a^2 + 1)^2 - (2a)^2 = (4a^2 - 2a + 1)(4a^2 + 2a + 1)
因此，
(a^4 + 3a^2 + 1)/(a^4 - a^2 + 1) = 17a^2/[(4a^2 - 2a + 1)(4a^2 + 2a + 1)]