Question

求解一道大一线性代数题目

已知斜对矩阵A满足性质；A的转置等于—A。
证明：A的秩为偶数
需要详细解答

Answer 1

矩阵的秩可以定义为矩阵的非零子式的最高阶数，说白了就是矩阵中块头最大的非零子式的块头（阶数）

所谓斜对称矩阵，也叫做反对称矩阵，你列出的那个是定义（-A=AT）特点是主对角线上是零，其余位置元素关于主对角线反对称（就是互为相反数），

反对称矩阵有个性质：它的奇数阶子式均为零（事实上，将子式每行提出一个-1因子出来，系数为-1的奇数阶，因此如此操作后得到的子式的数值应该是原子式的相反数，而从另外角度看，相当于原子式转置了一下，行列式数值应当不变，两下结合，子式= (-1)× 子式,只有数字零方可满足，故得证）

研究秩，关心的是非零子式，所以，反对陈矩阵的偶数阶子式才有可能非零，从而A的秩必为偶数。