Question

高一函数

函数f（x）是R上的增函数，令F（x）=f（x）－f（2－x）。
（1）求证F（x）在R上市增函数；
（2）若F(a）+F（b）＞0，求证：a+b＞2

Answer 1

设x1<x2，则2-x1>2-x2
F（x1）-F（x2）=f（x1）-f（2-x1）-f（x2）+f（2-x2）=[f（x1）-f（x2）]+[f（2-x2）-f（2-x1）]
因为函数f（x）是R上的增函数，所以 f（x1）<f（x2），f（2-x2）<f（2-x1）
所以 F（x1）-F（x2）<0，即 F（x1）<F（x2）
故 函数F（x）在R上是增函数。

由F(a）+F（b）＞0，得F(a）>-F（b）
F（b）=f（b）－f（2－b）= f [ 2-(2-b) ]-f (2-b)= - { f (2-b)-f [ 2-(2-b) ] }= - F(2-b)
所以 F(a）> F（2-b）
又因为函数F（x）在R上是增函数，所以 a>2-b
故，a+b＞2。 证毕。