Question

高数求不定积分！过程

Answer 1

设t=x^(1/6),x=t^6,dx=6t^5dt,
原式=∫6t^5dt/[t^3*√(1+t^2)]
=6∫t^2dt/√(1+t^2)
=6∫(1+t^2)dt/*√(1+t^2)-6∫dt/*√(1+t^2)
=6∫√(1+t^2)dt-6∫dt/*√(1+t^2)
=6*(t/2)√(1+t^2)+6(1/2)ln[t+√(1+t^2)]-6ln[t+√(1+t^2)]
=3t√(1+t^2)-3ln[t+√(1+t^2)]
=3x^(1/6)*[1+x^(1/3)]-3ln{x^(1/6)+√[1+x^(1/3)]}+C.
对于∫dt/√(1+t^2)可用三角函数代换。

用三角函数代换和分部积分：
原式=∫6t^5dt/[t^3*√(1+t^2)]
=6∫t^2dt/√(1+t^2)
设t=tanθ，dt=(secθ)^2dθ.
原式=6∫(tanθ)^2*(secθ)^2dθ/secθ
=6∫[(secθ)^2-1]secθdθ
=6∫(secθ)^3dθ-6∫secθdθ,
∫(secθ)^3dθ=∫(secθ)dtanθ
=secθtanθ-∫(tanθ)dsecθ
=secθtanθ-∫(tanθ)^2secθdθ
=secθtanθ-∫(secθ)^3dθ+∫secθdθ
∫(secθ)^3dθ=(secθtanθ)/2+(1/2)∫secθdθ
=(secθtanθ)/2+(1/2)ln|secθ+tanθ|+C1,
原式=3secθtanθ+3ln|secθ+tanθ|-6ln|secθ+tanθ|+C
=3x^(1/6)*[1+x^(1/3)]-3ln{x^(1/6)+√[1+x^(1/3)]}+C.

Answer 2

设 X=(tan(t))^6 原式化简为： =∫ [6(sec(t))(tan(t))^2] dt 整理： =6 ∫ (sec(t))(tan(t))^2] dt =6 ∫ tan(t) d(sect) 稍后请看图： https://gss0.baidu.com/7LsWdDW5_xN3otqbppnN2DJv/111010000000/pic/item/4b71971368dd6e6fdc5401f2.jpg

Answer 3

2楼那个第三步就错了,晕…