Question

如图，已知AB=AC=BD=DE，CD=ED，求∠A的度数。

Answer 1

在△ABC中D在BC的延长线上，E在AC边上，设AB=AC=BD=DE=1，CD=DE=BD-BC=1-a,
易知B=C=2∠D,
cosD=(DE/2)/CD=1/[2(1-a)],
cosC=2(cosD)^2-1=1/[2(1-a)^2]-1=a/2,
两边都乘以2(1-a)^2,得1-2(1-2a+a^2)=a(1-2a+a^2),
-1+4a-2a^2=a-2a^2+a^3,
整理得a^3-3a+1=0,①
解得a≈0.34729636，或a^2+0.34729636a-2.87939 ≈0，
a≈-0.17364818土1.705738，均舍。
由余弦定理，cosA=(2-a^2)/2≈0.93969262，
A≈20°。
∠D=2∠A,

<==>cosD=cos2A=2(cosA)^2-1,
<==>1/[2(1-a)]=2[(2-a^2)/2]^2-1,
<==>1/(1-a)=2-4a^2+a^4,
<==>1=2-2a-4a^2+4a^3+a^4-a^5,
整理得a^5-a^4-4a^3+4a^2+2a-1=0,
分解因式得(a^3-3a+1)(a^2-a-1)=0,②
0<a<1,故a^2-a-1<0,
②<==>①，
所以B=C=4A,
A+B+C=9A=180°，
A=20°。