Question

已知：在三角形ABC中，BD垂直AC，D为垂足，E是AB中点，EF平行BC，交AC于点F，角A等于

已知：在三角形ABC中，BD垂直AC，D为垂足，E是AB中点，EF平行BC，交AC于点F，角A等于二倍角C。求证DF等于二分之一AB。

Answer 1

证明：
连结DE
∵EF平行于BC（已知）
∴∠AFE=∠C（两直线平行,同位角相等）
∵∠A=2∠C（已知）
∴∠A=2∠AFE（等量代换）
∵BD⊥AC（已知）
∴△ABD为直角三角形
∵E是AB的中点（已知）
∴DE是△ABD的中线（中线定义）
∴AB=2DE（直角三角形斜边的中线是斜边的一半）
∴△ADE为等腰三角形
∴∠A=∠ADE
∵∠ADE=∠DEF+∠DFE（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和）
∴∠A=∠DEF+∠DFE
∴2∠DFE=∠DEF+∠DFE
即∠DFE=∠DEF
∴DE=DF（等角对等边）
所以DF=1/2AB

Answer 2

连接DE
∵BD⊥AC，那么RT△ABD中
E是AB中点
∴DE=AE=BE=1/2AB
那么∠EDA=∠A
∵EF∥BC
∴∠AFE=∠C
∵∠EDA=∠A
∠A=2∠C
∠EDA=∠AFE+∠DEF
∴2∠C=∠C+∠DEF
∴∠DEF=∠C=∠AFE=∠DFE
那么DF=DE=1/2AB