Question

为什么不能利用比值法判断收敛性？

Answer 1

这题目用积分，导数审敛法可以方便做出，而且已有他人给出答案。我就在这里分析为何不能使用比值审敛法判断敛散性。
用比值审敛法判断，
1/n的后项比前项为1-1/(n+1);
1/n^2的为1-2/(n+1)+1/(n+1)^2;
当n趋于无穷时，上列两个式子均趋于1，按道理应该都是发散的是吧？
比值本身是项与项之间的倍率关系，而与项本身的大小无关。举个栗子:
级数1第n项是0.0001(n足够大)，第n+1项是0.0001000001，第n+2项是0.0001000001000000001，以此类推后项比前项趋于1，但它是收敛的;
级数2第n项是1000(n足够大)，第n+1项是1000.1，第n+2项是1000.1001，以此类推后项比前项趋于1，但它是发散的;
综上，
比值审敛法适用条件(未考虑复数域):
1.若比值是个常数a，a>=1时发散，a<1时收敛。(不考虑负数情况)
2.若是一个关于n的式子b，则n趋于无穷时，b趋于小于1的数时收敛，b趋于1时无法判断，b趋于大于1的数时发散。