Question

1.求 f(x,y)=x^3+y^3+3xy+1 的极值.

Answer 1

我们可以先求出它的一阶偏导数：
∂f/∂x = 3x² + 3y
∂f/∂y = 3x + 3y²
然后令一阶偏导数等于0，解得 (x,y) = (-1,-1), (0,0), (1, -1), ( -1, 1 )
对于每一个极值点，我们需要通过二阶偏导数来判断其类型。具体地，设 A = ∂²f/(∂x)², B = ∂²f/(∂x∂y), C = ∂²f/(∂y)²，其中
A = 6x, B = 3, C = 6y.
当 A×C - B² > 0 且 A > 0 时，为极小值；当 A×C - B² > 0 且 A < 0 时，为极大值。而当 A×C - B² < 0 时，则为鞍点。
计算可得：
(x,y) = (-1, -1) 时，A= -6, B= 3, C= -6，则 A×C - B² = 0，不能判断。
(x,y) = (0,0) 时，A= 0, B=3,C=0，则 A×C - B² = 0，不能判断。
(x,y) = (1,-1) 时，A= 6, B=3,C= -6，则 A×C - B² = -108，故为鞍点。
(x,y) = (-1,1) 时，A= -6,B= 3,C= 6，则 A×C - B² = -108，故为鞍点。
综上所述，f(x,y)=x^3+y^3+3xy+1 只有鞍点 (1,-1) 和 (-1,1)，没有极值。