Question

求矩阵的秩和逆矩阵的秩

Answer 1

我来证明楼上的结论。

矩阵的秩：n阶矩阵中有存在k阶子式不为零，所有高于k阶的子式全为零，那么这个矩阵的秩就k。

1. 矩阵满秩，R（A）=n，那么R（A-1）=n，矩阵的逆的秩与原矩阵秩相等，而且初等变换不改变矩阵的秩，A*=|A|A-1，R（A*）=n

2. R（A）=n-1，行列式|A|=0，但是矩阵A中存在n-1阶子式不为0，对此有：
   AA*=|A|E=0，从而r(A)+r(A*)小于或等于n，也就是r(A*)小于或等于1，又因为A中存在n-1阶子式不为0，所以Aij≠0，得r(A*)大于或等于1，所以R（A*）=1

3. R（A）<n-1,那么A的所有n-1阶子式全为零，A*即为零（规定：零矩阵的秩为零），故R（A*）=0