Question

集合的子集个数公式推导

Answer 1

集合的子集个数公式推导如下：

设集合S具有n个元素，它的子集数量为2^n，例如，集合S包含4个元素a、b、c、d，它的子集个数为2^4=16，空集，及 包含原集合中所有元素的本身，分别也算一个子集，故再加上它们，即有2^n+2个子集。

此外，还可以增加一种情况，即当S中有重复元素时，可以用组合数公式来计算子集个数，即：设集合S具有n个元素，其中元素a有um个，元素b有vm个，……至……元素z有zm个，则S的子集的个数为：C（n，um）C（n-um，vm）C（n-∑（u+v+......+y）m，zm）。

这里，C（n，m）表示从n个元素中取出m个元素的组合数，以上算法仍然不包括空集和本身，最终需要将2^n-2+C结果再加上空集和本身。

因此，总结以上，计算一个集合的子集个数公式如下：对于一个没有重复元素的集合S，它的子集个数为：2^n+2；对于一个有重复元素的集合S，它的子集个数为：2^n-2+C，C代表用组合数计算的结果，最终需要将2^n-2+C结果再加上空集和本身。

集合中元素的特性：

1、确定性

给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。

2、互异性

一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。

3、无序性

一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。