Question

如图，在四边形ABCD中，点E是线段AD上的任意一点（E与A，D不重合），G，F，H分别是BE，BC，CE的中点。

⑴证明四边形EGFH是平行四边形；
⑵在⑴的条件下，若EF⊥BC，且EF=1/2BC，证明平行四边形EGFH是正方形。

Answer 1

证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GF∥EC且GF=1/2EC．
又∵H是EC的中点，EH=1/2EC，
∴GF∥EH且GF=EH．
∴四边形EGFH是平行四边形．
（2）∵G，H分别是BE，EC的中点，
∴GH∥BC且GH=1/2BC．
又∵EF⊥BC且EF=1/2BC，
∴EF⊥GH且EF=GH．
∴平行四边形EGFH是正方形．

Answer 2

（1）证明：连接BD

∵E、H分别是AB、AD的中点，

∴EH是△ABD的中位线

∴EH＝BD，EH‖BD

同理得FG＝BD，FG‖BD

∴EH＝FG，EH‖FG

∴四边形EFGH是平行四边形

Answer 3

证明：（1）∵G，F分别是BE，BC的中点，
∴GF∥EC且GF=1 2 EC．
又∵H是EC的中点，EH=1 2 EC，
∴GF∥EH且GF=EH．
∴四边形EGFH是平行四边形．

（2）∵G，H分别是BE，EC的中点，
∴GH∥BC且GH=1 2 BC．
又∵EF⊥BC且EF=1 2 BC，
∴EF⊥GH且EF=GH．
∴平行四边形EGFH是正方形．